metode runge kutta

Metode Runge-Kutta

Persamaan Diferensial Biasa (PDB) adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi satu peubah. Solusi dari PDB adalah fungsi tertentu yang memenuhi persamaan tersebut. Berikut beberapa contoh PDB :

Penyelesaian PDB dengan metode deret Taylor tidak praktis karena metode tersebut membutuhkan perhitungan turunan f(x, y). Lagipula, tidak semua fungsi mudah dihitung turunannya, terutama bagi fungsi yang bentuknya rumit. Semakin tinggi orde metode deret Taylor, semakin tinggi turunan fungsi yang harus dihitung. Karena pertimbangan ini, metode deret Taylor yang berorde tinggi pun tidak dapat dapat diterima dalam masalah praktek.

Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi f(x, y) pada titik terpilih dalam setiap selang langkah [CON80]. Metode Runge-Kutta adalah metode PDB yang paling popuper karena banyak dipakai dalam praktek.

Bentuk umum metoda Range-Kutta orde-n ialah:

yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + ... + an kn

dengan a₁, a₂, ..., a_n adalah tetapan, dan

k₁  =  hf (x_r , y_r)

k₂  =  hf (x_r + p₁h, y_r + q₁₁k₁)

k₃  =  hf (x_r + p₂h, y_r + q₂₁k₁ + q₂₂k₂)

^kn         ^{=  hf (x}r ^{+ p}n-1^{h, y}r ^{+ q}n-1,1 ^k1 ^{+ q}n-1,2 ^k2 ^{+ ... + q}n-1, n-1 ^kn-1⁾

Nilai a_i, p_i, q_ij dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat per langkah, dan persamaan (P.8.24) akan sama dengan metode deret Taylor dari orde setinggi mungkin.

Galat per langkah metode Runge-Kutta orde-n         : O(hⁿ⁺¹)

Galat longgokan metode Runge-Kutta orde-n           : O(hⁿ)

Orde metode = n

1. Metode Runge-Kutta Orde Satu

Metode Runge-Kutta orde satu berbentuk
k1  =  hf (xr , yr)
yr+1   =  yr + (a1k1)

Galat per langkah metode R-K orde satu adalah O(h²).

Galat longgokan metode R-K orde satu adalah O(h).

Yang termasuk ke dalam metode Runge-Kutta orde satu ialah metode Euler:

k₁  =  hf (x_r, y_r)

y_r+1       =  y_r + k₁

            (dalam hal ini a₁ = 1)

2. Metode Runge-Kutta Orde Dua

Metode Runge-Kutta orde dua berbentuk

k1	=	hf (xr, yr)
k2	=	hf (xr + p1h,  yr + q11k1)
yr+1	=  yr + (a1k1 + a2k2)

Galat per langkah metode Runge-Kutta orde dua adalah O(h³).

Galat longgokan metode Runge-Kutta orde dua adalah O(h²).

Uraikan k₂ ke dalam deret Taylor di sekitar (x_r, y_r) sampai suku orde satu saja:

k₂         =  hf (x_r + p₁h, y_r + q₁₁k₁)

            = h( f + p₁hf_x + q₁₁k₁ f_y )

            = h( f + p₁hf_x + q₁₁hf f_y )

= h( f + h( p₁ f_x + q₁₁ ff_y ))

Sedangkan k₁ tidak perlu diuraikan karena sudah berada dalam bentuk (x_r, y_r).

Dengan membuat galat per langkah E_p = 0,

0  =  { hf_r + ¹/₂ h²( f_x + f_r f_y) } - { (a₁ + a₂) hf_r + a₂h²( p₁ f_x + q₁₁ f_r f_y) }

atau

hf

r

+ 1/

2

h2( f

x

+ f

r

f ) = (a

1

+ a

) hf

r

+ a

h2( p

1

f

x

+ q

f f )

y

2

2

11  r  y

Agar ruas kiri dan ruas kanannya sama, haruslah

a1 + a2	=  1
a2 p1	=	½
a2 q11	=	1/2

Karena sistem persamaan di atas terdiri atas tiga persamaan dengan empat peubah yang tidak diketahui, maka solusinya tidak unik, dengan kata lain, solusinya banyak. Solusi yang unik hanya dapat diperoleh dengan memberikan sebuah peubah dengan sebuah harga. Misalkan ditentukan nilai a₂ = t, t ÎR, maka

a₁  = 1 –  a₂ = 1 – t

p1	=	1			=	1
		2a2					2t
q11	=		1		=	1
			2a2			2t

Karena kita dapat memberikan sembarang nilai t, berarti metode Runge-Kutta Orde dua tidak terhingga banyaknya.

Contoh metode Runge-Kutta orde dua adalah metode Heun, yang dalam hal ini

a₂ = 1/2, a₁ = 1/2,

p₁  =  q₁₁  = 1

Dalam bentuk Runge-Kutta orde 2, metode Heun dapat ditulis sebagai

k₁  =  hf(x_r,y_r)

k₂  =  hf(x_r + h, y_r + k₁)

y_r+1  =  y_r + ¹/₂ (k₁ + k₂)

Contoh metode Runge-Kutta orde dua lainnya ialah metode Ralston, yang dalam hal ini

a₂ = 2/3 a₁ = 1/3,

p₁         =  q₁₁  = 3/4

sehingga metode Ralston dapat ditulis dalam bentuk Runge-Kutta orde dua sebagai

k1		=	hf (xr, yr)
k	2	=	hf (x +	3/	4	h, y + 3/	4	k	)
			r			r		1
yr+1		=  yr + (1/3 k1 + 2/3 k2)

Sepintas, metode Runge-Kutta tampaknya rumit, tapi sebenarnya metode Runge-Kutta mudah diprogram. Dengan perhitungan tangan, seringnya menghitung f(x, y) merupakan pekerjaan yang melelahkan. Tetapi dengan komputer, hal ini tidak menjadi masalah.

3. Metode Runge-Kutta Orde Tiga

Metode Runge-Kutta yang terkenal dan banyak dipakai dalam praktek adalah metode Runge-Kutta orde tiga dan metode Runge-Kutta orde empat. Kedua metode tersebut terkenal karena tingkat ketelitian solusinya tinggi (dibandingkan metode Runge-Kutta orde sebelumnya, mudah diprogram, dan stabil (akan dijelaskan kemudian).

Metode Runge -Kutta orde tiga berbentuk:

k1

=  hf (xr, yr)

k

2

=  hf (x + 1/

2

h, y + 1/  k

)

r

r

2

1

k3

=  hf (xr + h, yr - k1 + 2k2)

y

r+1

=  y + 1/

6

( k

1

+ 4k

2

+ k

)

r

3

Galat per langkah metode R-K orde tiga adalah O(h⁴).

Galat longgokan metode R-K orde tiga adalah O(h³).

4. Metode Runge-Kutta Orde Empat

k1

=

hf (xr, yr)

k

2

=

hf (x + 1/

2

h, y +

1/  k

)

r

r

2

1

k3  = hf (xr + 1/2 h, yr + 1/2 k2)

k4

=  hf (xr + h, yr + k3)

y

r+1

=

y + 1/

6

(k

1

+ 2k

2

+ 2k

3

+ k

)

r

4

Galat per langkah metode Runge-Kutta orde empat adalah O(h³).

Galat longgokan metode Runge-Kutta orde empat adalah O(h²).

Metode Runge-Kutta orde yang lebih tinggi tentu memberikan solusi yang semakin teliti. Tetapi ketelitian ini harus dibayar dengan jumlah komputasi yang semakin banyak. Jadi ada timbal-balik (trade-off) dalam memilih suatu metode Runge-Kutta.