metode runge kutta

Metode Runge-Kutta

Persamaan Diferensial Biasa (PDB) adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi satu peubah. Solusi dari PDB adalah fungsi tertentu yang memenuhi persamaan tersebut. Berikut beberapa contoh PDB :

Penyelesaian PDB dengan metode deret Taylor tidak praktis karena metode tersebut membutuhkan perhitungan turunan f(x, y). Lagipula, tidak semua fungsi mudah dihitung turunannya, terutama bagi fungsi yang bentuknya rumit. Semakin tinggi orde metode deret Taylor, semakin tinggi turunan fungsi yang harus dihitung. Karena pertimbangan ini, metode deret Taylor yang berorde tinggi pun tidak dapat dapat diterima dalam masalah praktek.

Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi f(x, y) pada titik terpilih dalam setiap selang langkah [CON80]. Metode Runge-Kutta adalah metode PDB yang paling popuper karena banyak dipakai dalam praktek.

Bentuk umum metoda Range-Kutta orde-n ialah:

yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + ... + an kn

dengan a₁, a₂, ..., a_n adalah tetapan, dan

k₁  =  hf (x_r , y_r)

k₂  =  hf (x_r + p₁h, y_r + q₁₁k₁)

k₃  =  hf (x_r + p₂h, y_r + q₂₁k₁ + q₂₂k₂)

^kn         ^{=  hf (x}r ^{+ p}n-1^{h, y}r ^{+ q}n-1,1 ^k1 ^{+ q}n-1,2 ^k2 ^{+ ... + q}n-1, n-1 ^kn-1⁾

Nilai a_i, p_i, q_ij dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat per langkah, dan persamaan (P.8.24) akan sama dengan metode deret Taylor dari orde setinggi mungkin.

Galat per langkah metode Runge-Kutta orde-n         : O(hⁿ⁺¹)

Galat longgokan metode Runge-Kutta orde-n           : O(hⁿ)

Orde metode = n

1. Metode Runge-Kutta Orde Satu

Metode Runge-Kutta orde satu berbentuk
k1  =  hf (xr , yr)
yr+1   =  yr + (a1k1)

Galat per langkah metode R-K orde satu adalah O(h²).

Galat longgokan metode R-K orde satu adalah O(h).

Yang termasuk ke dalam metode Runge-Kutta orde satu ialah metode Euler:

k₁  =  hf (x_r, y_r)

y_r+1       =  y_r + k₁

            (dalam hal ini a₁ = 1)

2. Metode Runge-Kutta Orde Dua

Metode Runge-Kutta orde dua berbentuk

k1	=	hf (xr, yr)
k2	=	hf (xr + p1h,  yr + q11k1)
yr+1	=  yr + (a1k1 + a2k2)

Galat per langkah metode Runge-Kutta orde dua adalah O(h³).

Galat longgokan metode Runge-Kutta orde dua adalah O(h²).

Uraikan k₂ ke dalam deret Taylor di sekitar (x_r, y_r) sampai suku orde satu saja:

k₂         =  hf (x_r + p₁h, y_r + q₁₁k₁)

            = h( f + p₁hf_x + q₁₁k₁ f_y )

            = h( f + p₁hf_x + q₁₁hf f_y )

= h( f + h( p₁ f_x + q₁₁ ff_y ))

Sedangkan k₁ tidak perlu diuraikan karena sudah berada dalam bentuk (x_r, y_r).

Dengan membuat galat per langkah E_p = 0,

0  =  { hf_r + ¹/₂ h²( f_x + f_r f_y) } - { (a₁ + a₂) hf_r + a₂h²( p₁ f_x + q₁₁ f_r f_y) }

atau

hf

r

+ 1/

2

h2( f

x

+ f

r

f ) = (a

1

+ a

) hf

r

+ a

h2( p

1

f

x

+ q

f f )

y

2

2

11  r  y

Agar ruas kiri dan ruas kanannya sama, haruslah

a1 + a2	=  1
a2 p1	=	½
a2 q11	=	1/2

Karena sistem persamaan di atas terdiri atas tiga persamaan dengan empat peubah yang tidak diketahui, maka solusinya tidak unik, dengan kata lain, solusinya banyak. Solusi yang unik hanya dapat diperoleh dengan memberikan sebuah peubah dengan sebuah harga. Misalkan ditentukan nilai a₂ = t, t ÎR, maka

a₁  = 1 –  a₂ = 1 – t

p1	=	1			=	1
		2a2					2t
q11	=		1		=	1
			2a2			2t

Karena kita dapat memberikan sembarang nilai t, berarti metode Runge-Kutta Orde dua tidak terhingga banyaknya.

Contoh metode Runge-Kutta orde dua adalah metode Heun, yang dalam hal ini

a₂ = 1/2, a₁ = 1/2,

p₁  =  q₁₁  = 1

Dalam bentuk Runge-Kutta orde 2, metode Heun dapat ditulis sebagai

k₁  =  hf(x_r,y_r)

k₂  =  hf(x_r + h, y_r + k₁)

y_r+1  =  y_r + ¹/₂ (k₁ + k₂)

Contoh metode Runge-Kutta orde dua lainnya ialah metode Ralston, yang dalam hal ini

a₂ = 2/3 a₁ = 1/3,

p₁         =  q₁₁  = 3/4

sehingga metode Ralston dapat ditulis dalam bentuk Runge-Kutta orde dua sebagai

k1		=	hf (xr, yr)
k	2	=	hf (x +	3/	4	h, y + 3/	4	k	)
			r			r		1
yr+1		=  yr + (1/3 k1 + 2/3 k2)

Sepintas, metode Runge-Kutta tampaknya rumit, tapi sebenarnya metode Runge-Kutta mudah diprogram. Dengan perhitungan tangan, seringnya menghitung f(x, y) merupakan pekerjaan yang melelahkan. Tetapi dengan komputer, hal ini tidak menjadi masalah.

3. Metode Runge-Kutta Orde Tiga

Metode Runge-Kutta yang terkenal dan banyak dipakai dalam praktek adalah metode Runge-Kutta orde tiga dan metode Runge-Kutta orde empat. Kedua metode tersebut terkenal karena tingkat ketelitian solusinya tinggi (dibandingkan metode Runge-Kutta orde sebelumnya, mudah diprogram, dan stabil (akan dijelaskan kemudian).

Metode Runge -Kutta orde tiga berbentuk:

k1

=  hf (xr, yr)

k

2

=  hf (x + 1/

2

h, y + 1/  k

)

r

r

2

1

k3

=  hf (xr + h, yr - k1 + 2k2)

y

r+1

=  y + 1/

6

( k

1

+ 4k

2

+ k

)

r

3

Galat per langkah metode R-K orde tiga adalah O(h⁴).

Galat longgokan metode R-K orde tiga adalah O(h³).

4. Metode Runge-Kutta Orde Empat

k1

=

hf (xr, yr)

k

2

=

hf (x + 1/

2

h, y +

1/  k

)

r

r

2

1

k3  = hf (xr + 1/2 h, yr + 1/2 k2)

k4

=  hf (xr + h, yr + k3)

y

r+1

=

y + 1/

6

(k

1

+ 2k

2

+ 2k

3

+ k

)

r

4

Galat per langkah metode Runge-Kutta orde empat adalah O(h³).

Galat longgokan metode Runge-Kutta orde empat adalah O(h²).

Metode Runge-Kutta orde yang lebih tinggi tentu memberikan solusi yang semakin teliti. Tetapi ketelitian ini harus dibayar dengan jumlah komputasi yang semakin banyak. Jadi ada timbal-balik (trade-off) dalam memilih suatu metode Runge-Kutta.

Efflux Time

Secara Umum

Efflux time adalah waktu penurunan tinggi cairan dari permukaan cairan sampai dasar tangki melalui pipa vartikal pada dasar tangka karena gaya beratnya sendiri. Waktu penurunan cairan ini dapat diperkirakan dengan persamaan pendekatan yang kemudian dikaitkan dengan factor koreksi yang merupakan perbandingan antara efflux time sesungguhnya dengan efflux time teoritis. Faktor koreksi digunakan untuk mendapatkan waktu penurunan cairan yang sesungguhnya dimana jika factor koreksi mendekati satu maka data yang didapat dapat dinyatakan valid.

Pada pembahasan mengenai efflux time tak pernah lepas dari yang namanya fluida. Dimana fluida adalah suatu substansi yang tidak dapat menerima perubahan bentuk secara permanen. Dilihat dari bentuk massa fluida didalamnya akan terbentuk lapisan-lapisan dimana satu lapisan dicegat diatas lapisan yang lain sehingga mencatpai bentuk yang baru. Pada saat mengalami perubahan bentuk tersebut yerdapat yang namanya tegangan geser dimana besarnya bergantung pada viskositas fluida dan laju alir. Bila suatu fluida telah mengalami aliran dan mendapat bentuk akhirnya tegangan geser tersebut akan menghilang dengan sendirinya, dan fluida berada dalam kesetimbangan yang bebas dari segala regangan geser.

Sifat Bahan

1. Air

Sifat fisik:

a. berupa cairan

b. tidak berwarna

c. tidak berbau

d. tidak memiliki rasa

Sifat kimia:

a. Rumus molekul H₂O

b. densitas 0,998 g/cm³

c. titik lebur 0^oC

d. titik didih 100 ^oC

2. Garam

Sifat fisika:

a. Berupa padatan

b. Berbentuk serbuk kristal

c. Berwarna putih

d. Memiliki rasa asin

Sifat kimia:

a. Rumus molekul NaCl

b. Densitas 2,165 g/cm³

c. Titik lebur 801 oC

d. Titik didih 1413 ^oC

Pengeringan

Secara Umum

Pengeringan merupakan suatu peristiwa perpindahan massa dan energi yang terjadi dalam pemisahan cairan atau kelembaban dari suatu bahan sampai batas kandungan air yang ditentukan dengan menggunakan gas sebagai fluida sumber panas dan penerima uap cairan

Pengeringan merupakan proses penghilangan sejumlah air dari material. Dalam pengeringan, air dihilangkan dengan prinsip perbedaan kelembaban antara udara pengering dengan bahan makanan yang dikeringkan. Material biasanya dikontakkan dengan udara kering yang kemudian terjadi perpindahan massa air dari material ke udara pengering.

Dalam beberapa kasus, air dihilangkan secara mekanik dari material padat dengan cara di-press, sentrifugasi dan lain sebagainya. Cara ini lebih murah dibandingkan pengeringan dengan menggunakan panas. Kandungan air dari bahan yang sudah dikeringkan bervariasi bergantung dari produk yang ingin dihasilkan. Garam kering mengandung 0.5% air, batu bara mengandung 4% air dan produk makanan mengandung sekitar 5% air. Biasanya pengeringan merupakan proses akhir sebelum pengemasan dan membuat beberapa benda lebih mudah untuk ditangani.

Terdapat 2 istilah yang dipakai untuk pengeringan yaitu :

         Drying

suatu proses kehilangan air yang disebabkan oleh daya atau kekuatan alam, misalnya matahari (dijemur) dan angin (diangin-anginkan).

         Dehydration

suatu proses pengeringan dengan panas buatan, dengan menggunakan peralatan/alat-alat pengering.

Oleh karena itu, cara – cara pengeringam atau pengurangan kadar air dapat dibagi menjadi dua golongan sebagai berikut:

a.    Pengeringan Alami

b.    Pengeringan Buatan atau Pengeringan Mekanis

Tujuan akhir dari sistem pengeringan bukan saja untuk mempercepat proses pengeringan, akan tetapi juga untuk meningkatkan mutu bahan yang dikeringkan dan sistem dapat beroperasi dengan biaya relatif rendah. Dengan kata lain, kita ingin mengoptimumkan operasi sistem pengeringan tersebut.

Sistem pengeringan dapat direka bentuk hanya setelah kita mengetahui prinsip dasar pengeringan suatu jenis bahan. Hal ini penting untuk menghindari proses pengeringan lampau dan pengeringan yang terlalu lama, karena kedua proses pengeringan ini akan meningkatkan biaya operasi.

Faktor-faktor yang Mpempengaruhi Pengeringan

       Faktor-faktor yang mempengaruhi pengeringan dapat digolongkan menjadidua yaitu : 

1. faktor yang berhubungan dengan sifat bahan yang dikeringkanatau disebut faktor internal  seperti ukuran bahan, kadar air awal dari bahan dantekanan parsial di dalam bahan

2. faktor yang berhubungan dengan udara pengering atau disebut sebagai faktor eksternal seperti suhu, kelembaban dankecepatan volumetrik aliran udara pengering.

        Makin tinggi suhu dan kecepatan aliran udara pengering makin cepat pulaproses pengeringan berlangsung. Makin tinggi suhu udara pengering, makinbesar enersi panas yang dibawa udara sehingga makin banyak jumlahmassa cairan yang diuapkan dari permukaan bahan yang dikeringkan. Jikakecepatan aliran udara pengering makin tinggi maka makin cepat massa uapair yang dipindahkan dari bahan ke atmosfir. Kelembaban udaraberpengaruh terhadap proses pemindahan uap air. Pada kelembaban udaratinggi, perbedaan tekanan uap air di dalam dan di luar bahan kecil, sehinggapemindahan uap air dari dalam bahan ke luar terhambat.

Sifat Bahan

1. Ketela

Sifat fisika:

a. Berupa padatan

b. Akar yang berbentuk umbi

c. Tumbuh baik bila lahan terkena matahari

d. Dibudidayakan melalui batang rambatnya

Sifat kimia:

a. Mengandung beta karotene

b. Memiliki kandungan pembentuk vitamin A tertinggi

c. Penambahan pupuk UREA akan membuat hasilnya bagus

proses pelarutan padat cair

Sifat bahan
1. Natrium hidroksida

Sifat fisika:
a. Rumus molekul NaOH
b. Massa molar 39,997 g/mol
c. Densitas 2,13 g/cm3
d. Berupa padatan

e. Berwarna putih

Sifat kimia :

a. Melepaskan panas bila larut dalam air

b. Mudah larut dalam etanol dan air

c. Bersifat basa kuat

2. Sekam padi

Sifat fisika:

a. Berwarna coklat

b. Berupa padatan

c. Densitas 1,125 g/cm3

d. Titik lebur rendah

Sifat kimia:

a. Permukaan kulit padi merupakan isolator yang baik

b. Permukaan kulit padi dapat menjadi adsorben

Fluidisasi

Fluidisasi adalah metoda pengontakan butiran-butiran padat dengan fluida baik cair maupun gas. Dengan metoda ini diharapkan butiran-butiran padat memiliki sifat seperti fluida dengan  viskositas tinggi. Sebagai ilustrasi, tinjau suatu kolom berisi sejumlah partikel padat  berbentuk bola. Melalui unggun padatan ini kemudian dialirkan gas dari bawah ke atas. Pada laju alir yang cukup rendah, butiran padat akan tetap diam, karena gas hanya mengalir dari bawah ke atas. Pada laju alir yang cukup rendah, butiran padat akan tetap diam, karena gas hanya mengalir melalui ruang antar partikel tanpa menyebabkan perubahan susunan partikel tersebut. Keadaan yang demikian disebut unggun diam atau fixed bed.

Kalau laju alir kemudian dinaikkan, akan sampai pada suatu keadaan di mana unggun padatan akan tersuspensi di dalam aliran gas yang melaluinya. Pada keadaan ini masing-masing butiran akan terpisahkan satu sama lain sehingga dapat bergerak dengan lebih mudah. Pada kondisi butiran yang dapat bergerak ini, sifat unggun akan menyerupai suatu cairan dengan viskositas tinggi, misalnya adanya kecenderungan untuk mengalir, mempunyai sifat hidrostatik dan sebagainya. Sifat unggun terfluidisasi ini dapat dilihat pada Gambar 1b. Dalam dunia industri, fluidisasi diaplikasikan dalam banyak hal seperti transportasi serbuk padatan (conveyor untuk solid), pencampuran padatan halus, perpindahan panas (seperti pendinginan untuk bijih alumina panas), pelapisan plastic pada permukaan logam, proses drying dan sizing pada pembakaran, proses pertumbuhan partikel dan kondensai bahan yang dapat mengalami sublimasi, adsorpsi (untuk pengeringan udara dengan adsorben), dan masih banyak aplikasi lain.

Sifat bahan

Air

Sifat fisik:

1. berupa cairan

2. tidak berwarna

3. tidak berbau

4. tidak memiliki rasa

Sifat kimia:

1. Rumus molekul h2o

2. densitas 0,998 g/cm3

3. titik lebur 0 c

4. titik didih 100 c

PasirSifat fisika:

1. Berupa padatan

2. Berbentuk butiran kristal

3. Luas permukaan kecil

4. Tidak lengket

Sifat kimia:

1. Densitas 2,6-2,66 g/cm3

2. Titik lebur 1715 C

3. Tidak larut dalam air

Tangki Berpengaduk

Pengadukan adalah operasi yang menciptakan terjadinya gerakan didalam bahan yang diaduk. Tujuan dari pada operasi pengadukan terutama adalah terjadinya pencampuran. Pencampuran adalah suatu operasi yang bertujuan untuk mengurangi ketidaksamaan komposisi, suhu, atau sifat yang lain yang terdapat dalam suatu bahan atau bisa juga pencampuran adalah penggabungan dua atau lebih bahan yang berbeda fase, seperti fluida atau padatan halus dan hal ini bertujuan untuk mengacak yang satu terhadap yang lain sehingga terjadi distribusi. Pencampuran dapat menimbulkan gerak didalam bahan itu yang menyebabkan bagian-bagian bahan saling bergerak satu terhadap yang lainnya, sehingga operasi pengadukan hanyalah salah satu cara operasi pencampuran.

Istilah pencampuran digunakan untuk berbagai ragam operasi, dimana derajat homogenitas bahan yang “bercampur” itu sangat berbeda. Umpamanya, satu kasus, dimana dua macam gas digabungkan dalam satu tempat hingga seluruhnya bercampur dengan baik, dan kasus lain pasir, kerikil, dan semen diaduk didalam drum putar selama beberapa waktu. Dalam kedua kasus itu bahan-bahan itu pada akhirnya bercampur, namun jelas pula bahwa homogenitasnya berbeda. Cuplikan campuran gas itu betapa pun kecilnya cuplikan itu semuanya mempunyai komposisi yang sama. Sedang cuplikan campuran beton, dipihak lain akan sangat berlainan komposisinya satu sama lain.

Sifat bahan

A. Natrium klorida

Sifat fisik

1. Berbentuk padatan

2. Berupa serbuk kristal

3. Tidak berwarna

4. Tidak berbau

Sifat kimia:

1. Rumus molekul NaCl

2. Massa molar 58,44 g/mol

3. Densitas 2,165 g/cm3

4. Larut dalam air

B. Kalium hidroksida

Sifat fisik:

1. Berupa padatan

2. Berwarna putih

3. Tidak berbau

Sifat kimia:

1. Rumus molekul KOH

2. Massa molar 56,11 g/mol

3. Densitas 2,044 g/cm3

4. Mudah larut dalam air dingin